++важность понимания совокупности исходных (неопределяемых) понятий, определений и аксиом как согласованной непротиворечивой системы++
В 5-ом классе?!

Браво! Никогда не слышал.

Проф. Мет (да покоится он в мире) рассказывал, что когда он, будучи начинающим учителем математики, изложил своим пятиклассникам 5-й постулат, один мальчик поднял руку и заявил: "Юрий Фомич, а вот у меня очень остро отточенный карандаш, и я провел через заданную точку две прямых, параллельных данной".
Вероятно, Ю.Ф. сам выдумал эту историю, но она хорошо иллюстрирует важность понимания совокупности исходных (неопределяемых) понятий, определений и аксиом как согласованной непротиворечивой системы. Этого не хватает гениальному в остальном учебнику Киселева.

Абитуриент рассказывает теорему о параллельных:
- Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной, если её проводить ровно...
- ???????!!!!!!....... ГДЕ ВЫ ЭТО ПРОЧИТАЛИ???????
Абитуриент с умным видом достаёт книжку и показывает нужное место :
"Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести РОВНО одну прямую, параллельную данной..."

спасибо! С Рождеством всех!

В школьные годы именно в популярных книжках читал про этот самый пучок. Помнится там ещё и угол этого пучка рассматривали. И поверхность (седло), на которой эта геометрия верна, рисовали...

на школьном уровне, как я его помню: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, с ней не пересекающуюся, и при том т о л ь к о о д н у.
В геометрии Лобачевского п о с л е д н е е неверно. Именно это я узнала в школе из популярных книжек.

Что до геометрии Лобачевского, то мы её как таковую на мехмате не проходили (хотя, естественно, слышали -- так и Швыдкой чего-то слышал ....). Может быть, проходили геометры-топологи (спецкурсом, скажем). В рамках римановой геометрии история пятого постулата не рассматривалась.

Я в каком-то блоге поспорил с чокнутой тёткой из Норильска про определение параллельных (цитата из перевода "Вверх дном" Жюля Верна: "Это не теорема и даже не аксиома, а просто определение"), был ею грубо обруган, в результате полез в сеть -- и чего-то даже понял, как ни странно. А именно; в ГЛ через точку вне прямой проходит пучок прямых, которые с нею (прямой!) не пересекаются, параллельными же называются (две) прямые, которые этот пучок ограничивают (и тоже её не пересекают). Существование таковых уже доказывается (причём довольно извращённым способом).

Если Вы это знаете ещё со школы из популярных книжек (я тогда такого не читал), поставьте мне тройку, пожалуйста,

Меня в найденном тексте больше всего порадовало, что Л. никто не признавал, пока не выяснилось, что Гаусс тоже придумал нечто подобное, но не решился публиковать. Когда же у него обнаружили восторженные отзывы о работах Л. (и Больяи), то тут же и признали, в том числе, дома.

Всех православных и сочувствующих - с Рождеством!