Олегу В.

1. Бесконечно вложенные матрешки.
Простите, ради Бога. Действительно, мое замечание было, как бы это выразится... не по теме, и Вам пришлось объяснять мне разницу.

2. Квадратный корень из 2.
И тут Вы правы. Спасибо за объяснение при алгебраические числа.

3. Слово и буква.
А вот такие примеры, по-моему, не годятся. Действительно, что касается языка, примеры играют большую роль. Кстати и в математике тоже. Чтобы опровергнуть утверждения типа «не существует...», достаточно указать даже единственный существующий объект (как например, в теореме Кантора). А вот примеры вроде: «представьте, какая бы путаница возникла, если бы „буква" и „слово" означали одно и то же» вряд ли применимы. Мы рассматриваем нечто реально существующее — язык, — и сослагательное наклонение тут так же неуместно, как, скажем, в биологии. Впрочем, мне кажется, по поводу «цифр» и «чисел» у нас с Вами расхождений почти не осталось. Интереснее вот что. Продолжая параллель с биологией: слова мне кажутся очень похожими на животных (про них тоже говорят «живое»). Они стали такими, какие они есть, в результате длительной эволюции и чудесным, не всегда для нас понятным, образом приспособлены к существованию. Тут неуместны оценки «хорошо» и «плохо», зато уместен вопрос «зачем?». Раз пары вроде «человек — мужчина» существуют, значит, для чего-то это нужно. Вот бы над чем поразмыслить.

4. «Time!»
Да, Вы правы, времени переписка занимает много и математические вопросы вроде бы не по теме (да я и сам об этом писал). Но тут я подумал, почитав ваши теоретико-множественные рассуждения, что между математикой и языком есть какая-то глубокая, не совсем пока ясная связь. Неясная, разумеется, лично мне: наверняка люди над этим думали. Не вспомните, кстати, кто сказал: «Математика — это язык»?

5. «В этой стране»
Ваш разбор примеров как раз и показывает, на мой взгляд, что «в этой стране» — не калька. А использовать можно по-разному.

6. «Малахольный»
Нормативное-то оно нормативное, а вот откуда взялось и что означает — вот вопрос.

7. Мат.
Пока, вроде, слава Богу, никто тут не матерился. Хотя обсудить как языковое явление — почему бы и нет?

Дмитрию Островскому.

8. «Поближе к теме форума» — см. п. 4.

Всем всего наилучшего!

Дмитрий Самойлов

Давайте все-таки будем поближе к теме форума. Теория множеств -- увлекательная штука, но немножко из другой области (кстати, Олег, знаете ли Вы о кардинальных числах? Насколько я понимаю это и есть та самая матрешка, о котором Вы пишите).
Поскольку слово дистанцироваться использовал я, то мне, вроде бы, и отвечать. Беда в том, что я не знаю про него ничего, кроме того, что оно есть и имеет значение, которое и так всем понятно. Так что могу только присоединиться к вопросу про него.

Вот масса критических замечаний по поводу некоторых идей, которые однако не представляют из себя корень зла.

(1)
> «В этой стране» встречается у Ахматовой
> («А если когда-нибудь в этой стране /
> Воздвигнуть задумают памятник мне...»)

Поэтический стиль, литературный прием.

(2)
> и опять-таки в Библии: «так как много раз
> бывали войны в этой стране, то Симон, сын
> Маттафии, сын сынов Иарива, и братья его,
> подвергая себя опасности...» — 1 Мак 14, 29;

Давайте исследуем контекст, окружающие словосочетания:

«тою страною,
землю свою,
плод свой,
под виноградом своим,
восстановил мир в стране,
в народе своем,
к народу нашему,
дом отца его,
врагам народа своего,
…»

Мы видим, что словосочетание «войны в этой стране» идеально ложится в этот поэтический лексикон, характерный именно для Библии.

(3)
> «я скажу тебе истину об этом народе,
> живущем близ тебя в этой нагорной
> стране» — Иудифь 5, 3.
> Так что это совсем не кальки, а вполне
> укорененные в языке словосочетания.

Можно сказать то же, что в пункте 2.

(4) слово «малахольный» приводится без объяснений в Орфографическом словаре русского языка (М., Русский Язык, 1991 г., 415с., около 100000 слов), подготовленном в Институте русского языка АН СССР. Стало быть, это слово относится к нормативной лексике.

(5)

> «В тексте обнаружена масса опечаток»,
> вы же не будете ехидно спрашивать,
> какую массу имел в виду говоривший —
> гравитационную или инерционную.

Омонимы ключ-ключ, масса-масса и другие школьные примеры — как бы разнесены в разные области языка, в разные «корзинки», в разные «плоскости» и, вследствие этого, легко различимы по контексту.

(6)
> «Вот в чем корень зла» (это какой же
> корень, может быть квадратный?).

«корень зла» – идиома. Неоднозначности нет.

(7)
> Но, может быть, говорящий как раз и хочет
> дистанцироваться от свое родины, разве это
> всегда плохо?

Обособляться от Родины можно по-разному. Можно, как Сахаров и Ахматова, а можно, как предатели-полицаи времен Второй мировой войны.

(8) ни «дистанцироваться», ни «дистанциироваться» в указанном словаре нет, так что, хотя смысл слова мне понятен, но правописание его для меня неясно. Буду рад услышать разъяснения.

Всем наилучшие пожелания,
Олег

Дмитрий! Спасибо, Вы приводите изящные, интересные примеры. (человек и женщина, infant и child, лошадь и конь, symptoms и signs). Вообще, примеры в этой области, то есть в языке, кажется, важны не менее теория. Надо будет это все эти примеры еще раз внимательно обдумать и тщательно взвесить.

Но у меня даже сейчас остается такое возражение против омонимии «цифра» и «цифра» в значении «буква математического алфавита» и «число». Именно, как Вы думаете, было бы лучше, если бы слово «буква» применяли также в значении «слово»?

Предположим, что это было бы так. Тогда, рассмотрим, к примеру, слова «ягода», «пьяный» и «свинья». Каждое из них содержит букву «я», то есть слово «я», то есть местоимение первого лица единственного числа. То есть «ягода», «пьяный» и «свинья» – это сложные слова, причем одной из компонент является местоимение первого лица единственного числа, «я». Стало быть, и по смыслу эти слова должны быть связаны с этим местоимением, то есть с «я». Но они же ведь не связаны!

Мы видим, что если слово состоит из букв, то его смысл не вытекает из смысла букв (если бы он у них и был), а если слово составлено других слов, то его смысл, вообще говоря, известным образом связан с этими составляющими словами.

Итак, смешивать «букву» и «слово» было бы нехорошо. Стало быть, смешивать «цифру» и «число» тоже плохо.

Но в живом языке они смешиваются.

Я не знаю, что тут делать.

Я просто старательно изгоняю лишние «цифры» из своего личного языка, но никогда не поправляю собеседника, если он не делает того же со своей речью. Сам я себя успокаиваю так: мы же не переучиваем англичан, чтобы они говорили только на русском языке, а просто переводим их...

С уважением,
Олег

> вроде бы еще Пифагор доказал,
> что квадратный корень из 2 —
> число иррациональное

Уф! Ну хоть здесь-то я не ошибся. Я сказал «… множества рациональных и алгебраических чисел, то есть тех чисел, которые (не считая числа пи) только и были известны до 19 века…». Но здесь были упомянуты алгебраические числа, то есть все вещественные корни всех возможных многочленов с рациональными коэффициентами. Множество всех алгебраических чисел, хотя и счетно (т.е. равномощно натуральному ряду), но все же содержит радикалы всех рациональных степеней из всех рациональных чисел и все комбинации из этих чисел (сумма, разность, произведение, частное (если знаменатель не ноль)), комбинации комбинаций, и т.д., а также еще очень много чего.

[ в скобках замечу, если Вы еще читаете данное сообщение, то, вероятно, Вам будет любопытно узнать, что знание структуры множества алгебраических чисел опирается на теорему: сумма двух алгебраических чисел также является алгебраическим числом (то есть корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами). Такие же теоремы верны и для разности, произведения и частного двух алгебраических чисел.]

Так что из неалгебраических, т.е. из трансцендентных чисел, древние знали только число пи (надеюсь, что не вру…)

Дмитрий!

Чтобы объяснить, не жалко ни места, ни времени. Но чем больше мы говорим, тем больше вопросов остается. Это нормально, если мы хоть чуть-чуть понимаем друг друга, а мы, кажется, понимаем. Проблема в другом. “Time! Time!, — закричал хоббит Бильбо.” Другими словами, я несколько не выдерживаю темпа нашей дискуссии, и поэтому, буду появляться на этом форуме пореже, Вы, пожалуйста, не поймите меня превратно.

> меня этот «кошмар бесконечной матрешки» не
> очень пугает. Взять, к примеру, множество
> натуральных чисел — оно равномощно любому
> своему бесконечному подмножеству. То есть,
> можно сказать, оно содержит самое себя
> бесконечное число раз. Таковы уж, видно,
> странные свойства бесконечности.

Да нет же! Это совершенно разные вещи! Важно не путать эту принадлежность с отношением вложенности подмножеств: принадлежность элемента – первичное, неопределяемое понятие, а отношение вложенности – всего лишь одно из его производных понятий. Например, множество всех живущих сейчас тараканов является подмножеством (а не элементом) множества всех живущих сейчас насекомых, очень большого, кстати. Еще пример. Пусть у нас есть 1000 яблок. В этом множестве 1000 элементов, но совсем другое количество подмножеств, а именно: 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437 50388370351051124936122493198378815695858127594672917553146 82518714528569231404359845775746985748039345677748242309854 21074605062371141877954182153046474983581941267398767559165 54394607706291457119647768654216766042983165262438683720566 8069376
(это одно число, в нем 302 цифры).

Далее. В современной математике нет, НУ ПРОСТО НЕТ бесконечно вложенных множеств, то есть последовательностей вида

… \in Xn \in … \in X3 \in X2 \in X1 ,

(т.е.: …  Xn  …  X3  X2  X1 )

т.е. таких «бесконечно вложенных матрешек».

И здесь принципиально, что X2 \in X1, то есть множество X2 является ЭЛЕМЕНТОМ множества X1 (а не его ПОДМНОЖЕСТВОМ). Здесь знак “\in”— это символ принадлежности элемента множеству, например, “ААВ \in ЭхоМосквы” значит, что “журналист по имени ААВ является элементом множества журналистов радиостанции ЭхоМосквы”.

Если множество большое, то у него много и всяких подмножеств, и некоторые из них могут оказаться ДЕЙСТВИТЕЛЬНО полезными для математики, это-то совсем не удивительно. Чем больше множество, тем больше у него подмножеств. Все нормально. Это используется и в теории целых чисел, и в теории вещественных чисел.

Удивительно было бы другое – бесконечная цепочка вложенных матрешек.
В самом деле, множество – это как бы пустая сумка для предметов, причем конструкция сумки не имеет значения, мы от нее абстрагируемся. Множество – это множество чего-то, множество всех яблок, множество всех политиков … или множество подмножеств всех политиков (это как бы множество прототипов политических партий) … или множество подмножеств множества подмножеств всех политиков (а это как бы множество подмножеств потенциально возможных политических партий)… и так далее, НО ДО КАКОГО-ТО ПРЕДЕЛА, НО В САМОМ КОНЦЕ ВСЕ-ТАКИ ЧТО-ТО ДОЛЖНО БЫТЬ – либо яблоки, либо политики, либо еще что-то существенное.

А что такое бесконечная последовательность «…\in Xn \in … \in X2 \in X1», приведенная в начале этого письма, никто, вероятно, не знает. И что с ней делать никто не знает. Она не состоит ни из чего и не содержит ничего. Я не знаю ни каких-либо логически непротиворечивых систем, позволяющих оперировать с такими чудовищами, ни примеров практического приложения их к реальности.

Пусть, например, у Вас есть два таких монстра: Монстр_1 и Монстр_2. Вам следует проверить не равны ли они, то есть выполняется ли равенство

Монстр_1 = Монстр_2.

Можете считать это уравнением, которое надо решить.

Когда равны две сумки? Когда у них равное содержимое (если конструкция сумок не имеет значения). Когда равны два множества? Когда каждый элемент первого множества принадлежит второму, и наоборот. Начинаем проверять.

Что является элементом первого монстра? Монстр_1_1. Что является элементом второго монстра? Монстр_2_1.
Вместо исходного уравнения мы получили такое:

Монстр_1_1 = Монстр_2_1.

Но оно решается легче только в том случае, если мы приблизились к яблокам или политикам. Если мы приблизились бы к самой внутренней матрешке. Но Вы сказали, что цепочка принадлежностей бесконечна. Значит, к решению мы ничуть не приблизились. Если мы опять попытаемся применить определение равенства множеств, получим третье уравнение:

Монстр_1_2 = Монстр_2_2.

А потом:

Монстр_1_3 = Монстр_2_3.
Монстр_1_4 = Монстр_2_4.
Монстр_1_5 = Монстр_2_5.

И так далее. И ни на каком шаге не сможем выяснить равны ли эти объекты.

Итак, невозможно (стандартными средствами теории множеств) выяснить равны ли эти ужасные объекты. Как же их тогда изучать? О каких их свойствах тогда можно говорить?

Вот почему я считаю, что «бесконечно вложенных матрешек» быть не может, ни практически, ни теоретически. Пока кто-либо не предъявит способа работать с ними.

С уважением,
Олег

P.S. по образованию я математик, а по профессии физик. Теорему Цермело и лемму Цорна изучал около 20 лет назад, правда этот интеллектуальный багаж несколько запылился.

P.S.S. Ведя столь обширную переписку на этом сайте, мы не можем не делать описок и ошибок именно по русскому языку. Поэтому я сразу скажу, что любые замечания по этому поводу приму не с обидой, а с благодарностью, если, конечно, эти замечания не будут содержать мата и оскорблений (что наблюдается на других форумах).

> Но там этот парадокс приписан Расселу.

Дмитрий!
Простите, я соврал. Спутал Цермело с Расселом. Виноват…

> Но множества рациональных и алгебраических
> чисел, то есть те чисел, которые (не считая
> числа пи) только и были известны до
> 19 века, радикально отличаются по
> свойствам от НЕПРЕРЫВНОГО
> множества вещественных чисел.

> Поясните, пожалуйста, чем таким Пи и
> прочие по свойствам отличаются от
> вещественных непрерывного ряда?

Очень просто. Понятие непрерывной функции опирается на понятие предела. Оно, в свою очередь, может опираться на понятие сходящейся последовательности или на понятие точной верхней грани (supremum). Последнее понятие мне и будет предпочтительнее. Итак: именно множество вещественных чисел R обладает свойством, что всякое ограниченное его подмножество имеет в R точную верхнюю грань. Теорема эта, при всей ее кажущейся простоте, даже кондовости, является достаточным фундаментом для разработки всей теории функций, теорий дифференциальных уравнений с частными и с обычными производными и прочая, и прочая.

Это же свойство можно сформулировать и так. Если непрерывная функция отрицательна в нуле (f(0)<0) и положительна в единице (f(1)>0), то она обязательно имеет корень в интервале между нулем и единицей (т.е. существует x такое, что 0<x<1 и f(x)=0).

Выкиньте из R любое число или любое подмножество, и R перестанет обладать этим свойством. Добавьте в R любое множество, сохраняя отношение упорядоченности (x<y) и операцию сложения (x+y), и Вы опять разрушите идиллию.

Владимир, Вам встречный вопрос. Следует ли слово «Пи» писать с большой буквы? И почему?

Олег

Но множества
рациональных и алгебраических чисел, то есть те чисел, которые
(не считая числа пи) только и были известны до 19 века,
радикально отличаются по свойствам от НЕПРЕРЫВНОГО
множества вещественных чисел.


Поясните, пожалуйста, чем таким Пи и прочие по свойствам отличаются от вещественных непрерывного ряда?